Congruence et divisibilité

Propriété

Soit \(a \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}^\ast\) .

• \(a \equiv 0 \ [n]\)  si, et seulement si,  \(n\)  divise  \(a\) .
  
• \(a \equiv r \ [n]\)  et  `0 \leq r si, et seulement si,  \(r\)  est le reste dans la division euclidienne de  \(a\)  par  \(n\) .
  

Exemples

• Comme \(37 \equiv 2 \ [5]\) , le reste dans la division euclidienne de \(37\)  par \(5\) vaut \(2\) (car \(0 \leqslant 2<5\) ).
  
• Comme \(28 \equiv 0 \ [7]\) ,  \(7\) divise \(28\) (autrement dit, le reste dans la division euclidienne de \(28\)  par \(7\) vaut \(0\) ).
• Comme \(-65 \equiv -1 \equiv 3 \ [4]\) , le reste dans la division euclidienne de \(-65\) par \(4\) vaut \(3\) .
  

Démonstration

• On a : 
  \(\begin{align*} a \equiv 0 \ [n] & \ \ \Longleftrightarrow \ \ a \text{ est un multiple de } n \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text{il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } a=kn \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ n \text{ divise } a. \end{align*}\)
• On a :
  \(\begin{align*} a \equiv r \ [n] \text{ et } 0 \leqslant r